ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАПАСОВ
Начнем с простейшей модели, предполагающей отсутствие неопределенностей. Мы увидим далее, что эта модель лежит в основе других, существенно более сложных и развитых моделей управления запасами.
Продукция поступает на склад, хранится там и уходит со склада в соответствии со спросом. В простейшей модели все полностью прогнозируемо, интенсивность спроса известна и постоянна. Обозначим ее посредством a. Таким образом, в единицу времени со склада уходит a единиц продукции.
Запас на складе пополняется периодически и одинаковыми поставками (партиями). Пусть T –период времени между поставками (длина цикла), Q – размер партии. Типичная динамика величины складского запаса V во времени представлена ниже на графике.
Дефицит (неудовлетворенный спрос) в простейшей модели рассматривается как явление недопустимое.
Слишком ранний приход поставки, когда запас еще имеется, не выгоден, поскольку приходится хранить лишний запас (и раньше времени оплачивать поставку).
Поскольку неопределенность отсутствует, то все можно спрогнозировать и рассчитать. Очередная партия должна приходить в момент, когда запас на складе опускается в точности до 0. В момент поставки размер запаса поднимается вверх на величину поставки Q и затем расходуется с постоянной интенсивностью a. Величина a определяет угол наклона прямых на графике. Поскольку интенсивность постоянна, то наклонные прямые параллельны.
Размер партии и длина цикла связаны соотношением
Q = aT.
Динамика складского запаса в простейшей модели
Можно пополнять запас большими партиями через длинные промежутки времени, а можно малыми партиями и через короткие промежутки. Задача в том, чтобы определить оптимальный размер партии (и, соответственно, оптимальную длину цикла).
Рассмотрим средние затраты в единицу времени. Поскольку ситуация циклически повторяется, то оптимизационные расчеты достаточно провести для одного цикла. На промежутке времени T постоянная составляющая затрат равна a (одна поставка), переменная составляющая затрат равна 0,5´Q´T´b (площадь треугольника, умноженная на коэффициент b). Общие затраты на промежутке T равны сумме этих двух составляющих, а средние затраты L в единицу времени определяются формулой
.
Полученное выражение содержит сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, a / T, определяется постоянной составляющей затрат и представляет собой обратно пропорциональную зависимость от T. Второе слагаемое, 0,5baT, определяется переменной составляющей затрат и представляет собой прямо пропорциональную зависимость от T.
При коротких циклах (частые поставки небольшими партиями) затраты будут значительными за счет первого слагаемого. При длинных циклах (редкие поставки крупными партиями) – за счет второго. Сумма этих слагаемых достигает минимума при некоторой промежуточной длине цикла * (см. графики затрат).Для того, чтобы рассчитать оптимальный цикл T* достаточно продифференцировать полученное выражение для затрат L и приравнять производную нулю. Получим
.
Отсюда
.
Для оптимального размера партии Q* получаем
.
Графики затрат
Оптимальный размер партии в этих условиях называется также экономичным объемом заказа (economic order quantity – EOQ).
Для получения минимальных средних затрат в единицу времени L* следует подставить T* в указанную выше формулу для L. В результате получим
.
Отметим, что два слагаемых, соответствующих постоянной и переменной составляющей затрат, оказались равны друг другу (это отчетливо проявляется на предпоследнем шаге преобразований). Таким образом, минимум затрат соответствует балансу постоянной и переменной составляющей. На графиках затрат точка минимума общих затрат лежит прямо над точкой пересечения линий постоянных и переменных затрат.
Полученные формулы для T*, Q*, L* называются формулами Уилсона (Wilson). Они действительны для простейшей модели, соответствующей весьма жестким предположениям. Однако формулы для других, сложных моделей, гораздо более приближенных к реальности, обычно оказываются модификациями формул Уилсона. В этом смысле формулы Уилсона имеют базовый характер.
Величина L не включает непосредственно затраты, связанные со стоимостью товара. Для обеспечения спроса в единицу времени требуется a единиц товара. Пусть товар покупается по цене c. Тогда затраты по стоимости товара равны ca. Обозначим посредством`L средние издержки в единицу времени с учетом стоимости партии. Тогда
`L = L + ca.
При реализации оптимальной стратегии получаем
`L* = L* + ca.
Поставка партии на склад требует определенного времени. Поэтому заказ на поставку подается с упреждением. Обозначим срок поставки (период упреждения) посредством t. В зависимости от конкретных условий он может измеряться минутами, часами, днями, неделями.
Для того, чтобы заказанная партия поступила точно в требуемый момент, заказ следует подавать заранее, за время t до этого момента. В момент поступления объем запаса должен быть равен 0. Следовательно, в момент подачи заказа объем запаса на складе должен составлять величину K,
K = t ´ a.
Эта величина K называется критическим объемом запаса.
Следующие три модели управления запасами являются развитием простейшей модели. Оптимизационные формулы для них выводятся аналогичным способом.
