Под временным рядом понимают упорядоченную во времени последовательность значений одной или конечного множества случайных величин. В первом случае говорят об одномерном временном ряде, во втором - о многомерном временном ряде. Здесь будут рассматриваться только одномерные временные ряды. Одномерный временной ряд называется стационарным, если его вероятностные характеристики (параметры случайной величины) постоянны. Временной ряд называется нестационарным, если хотя бы одна из вероятностных характеристик непостоянна. Поскольку важна последовательность во времени появления следующего значения временного ряда, а не конкретное значение времени появления, то во временных рядах в качестве аргумента используют номер отсчета значения временного ряда. Например:

x(1), x(2), ... ,x(k), ...

где - x(k) - значение временного ряда в k-том по порядку наблюдении; k - номер наблюдения.

В большинстве практических приложений рассматривают стационарные и нестационарные по математическому ожиданию временные ряды с нормальным законом распределения значений ряда. Это означает, что

 стационарный ряд:                 x(k) є ( µ, σ² ) ,  µ = const, σ² = const;

нестационарный ряд:           x(k) є ( µ, σ² ) ,  µ = var, σ² = const.

Для прогнозирования временного ряда необходимо построить его модель. Прогнозируемость ряда возможна лишь тогда, когда существует вероятностная (или аналитическая) связь последующих значений ряда от предыдущих.  Прогнозируемость стационарного временного ряда определяется с помощью автокорреляционной функции (АКФ):

ρ(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/σ²  

где: ρ(m) - значение автокорреляционной функции на сдвиге m временного ряда x(k)

Автокорреляционная функция это величины коэффициентов корреляции последующих значений ряда с предыдущими значениями, последующих значений ряда с предпредыдущими значениями и так далее. Графически это представляется так:

или

Очевидно, что ρ(0) = 1, поскольку это корреляция временного ряда на самого себя.

Стационарный временной ряд прогнозируем, если m>0 существует ρ(m) ≠ 0.

Стационарный временной ряд непрогнозируем, если для любого m>0 ρ(m) = 0. Такой ряд называют "белым шумом".

Напомним, что поскольку, АКФ это значения коэффициентов корреляции, то она является функцией неслучайных значений.

Оценивание АКФ осуществляется по реализации (фрагменту) временного ряда. Если реализация содержит n значений, то оценка автокорреляционной функции имеет вид:

где: r(m) - оценка АКФ;  x - среднее значение реализации временного ряда; S² - оценка дисперсии реализации временного ряда.

После оценивания АКФ необходимо для каждого m проверить гипотезу о равенстве нулю соответствующего коэффициента корреляции. В программах статистической обработки данных для каждой из оценок коэффициентов r(m) вычисляются критические значения, которые на графике оценки АКФ приобретают вид контрольных границ. Например:

Согласно приведенному графику значимым является значение r(1). Следовательно, на основании имеющейся реализации, данный ряд прогнозируем. Ниже приведен пример ряда, непрогнозируемого по имеющейся реализации, т.к. все значения r(m) для любого m>0 незначимы.

Необходимо отметить, что оценки АКФ имеют смысл при m<0,1*n. Следовательно, при проверке прогнозируемости временного ряда длина реализации должна быть не менее 20 - 30 наблюдений.