МЕТОДЫ МНОГОМЕРНЫХ КЛАССИФИКАЦИЙ

Дискриминантный анализ. Классификация при наличии k обучающих выборок

При необходимости возможно разбиение множества объектов (наблюдений) на k классов более двух. В этом случае необходимо построение k дискриминантных функций аналогично тому как это представлено в предыдущем параграфе.

Рассмотрим пример. Пусть имеются следующие наблюдения:

x₁	x₂
1	8
2	6
3	10
4	4
5	1
6	4
7	10
8	6
9	8

Наблюдения разделены на три множества (наблюдения 1,2,3, наблюдения 4,5,6 и наблюдения 7,8,9). Что бы наилучшим образом разделить множества, нужно построить соответствующую линейную комбинацию переменных x₁ и x₂ - дискриминантную функцию:

d = β₁*x₁ + β₂*x₂

Обозначим x_ij среднее значение j-го признака у объектов i-го множества. Тогда для первого множества среднее значение функции будет равно:

d₁ = β₁*x₁₁ + β₂*x₁₂

для второго множества:

d₂ = β₁*x₂₁ + β₂*x₂₂

для третьего множества:

d₃ = β₁*x₃₁ + β₂*x₃₂

Произведя вычисления по рассмотренной ранее схеме получим следующие функции классификации:

для классификации первого и второго множеств:

-4*x₁ + 2*x₂ = -3

для классификации второго третьего множеств:

-6,2*x₁ - 3,2*x₂ = -57,8

для классификации первого и третьего множеств:

-6,4*x₁ - 0,8*x₂ = -38,4

Графики функций представлены на рисунке.

Пусть новое наблюдение имеет значения: x₁ = 3, x₂ = 7. Тогда значения дискриминантных функций будут следующими:

f₁₂= -4*x₁ + 2*x₂ = -4*3 + 2*7 = - 2 > -3

f₂₃= -6,2*x₁ - 3,2*x₂ = -6,2*3 - 3,2*7 = -41 > -57,8

f₁₃= -6,4*x₁ - 0,8*x₂ = -6,4*3 - 0,8*7 = -24,8 > -38,4

Если x₁ = 7, x₂ = 3, то:

f₁₂= -4*x₁ + 2*x₂ = -4*7 + 2*3 = - 22 < -3

f₂₃= -6,2*x₁ - 3,2*x₂ = -6,2*7 - 3,2*3 = -53 > -57,8

f₁₃= -6,4*x₁ - 0,8*x₂ = -6,4*7 - 0,8*3 = -47,2 < -38,4

Необходимо отметить, что изменение числа переменных существенно влияет на результат дискриминантного анализа. Поэтому для определения необходимости включения (исключения) дискриминантной переменной обычно используют специальные критерии.

Для оценки вклада отдельной переменной в значение дискриминантной функции целесообразно пользоваться стандартизованными коэффициентами дискриминантной функции. Вычислить стандартизованные коэффициенты можно по следующей формуле:

a_j = β_j*(c_ij/(p - m))^1/2

где: p - общее число исходных переменных;

m - число групп;

c_ij - элементы ковариационной матрицы.

Стандартизованные коэффициенты не зависят от масштабов измерений переменных. Именно поэтому по абсолютным величинам этих коэффициентов можно определить какая дискриминантная переменная вносит наибольший или наименьший вклад в значение дискриминантной функции.

Проверьте усвоение Предыдущий раздел Следующий раздел Оглавление