МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Свойства среднего арифметического. Свойства дисперсии среднего арифметического.
Рассмотрим характеристики точечной оценки МО - среднего арифметического. Пусть имеется выборка x1, x2, ..., xn объема n случайной величины X. Тогда:
Если все наблюдения x1, x2, ..., xn принадлежат одной генеральной совокупности, то Mx1=Mx, Mx2=Mx, ..., Mxn=Mx, следовательно по свойству 4 МО:
M(X) = (1/n)*[Mx + Mx +...+ Mx] = (1/n)*n*Mx = Mx
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ - НЕСМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ,ЕСЛИ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫБОРКИ ПРИНАДЛЕЖАТ ОДНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ!
Для той же выборки имеем: D(X) = D[(x1+ x2 +...+ xn)/n] = (1/n2)*D[x1+ x2 +...+ xn].
Если все наблюдения x1,x2,...,xn принадлежат одной генеральной совокупности и процедура извлечения элементов выборки такова, что значения xi независимы, то D(x1)=Dx, D(x2)=Dx, ..., D(xn)=Dx, следовательно по свойству 4 дисперсии:
D(X) = (1/n2)*[Dx+Dx+...+Dx] = (1/n2)*n*Dx = Dx/n
ДИСПЕРСИЯ СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО В n РАЗ МЕНЬШЕ ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЕСЛИ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫБОРКИ ПРИНАДЛЕЖАТ ОДНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ И ПРОЦЕДУРА ИЗВЛЕЧЕНИЯ ВЫБОРКИ ОБЕСПЧИВАЕТ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ!
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ВЫБОРКИ.
Как следует из изложенного выше,
существенную роль в выполнении ряда свойств оценок играет способ извлечения
выборки. Рассмотрим пример числовой
лотереи типа спортлото 5 из 36. Перед
извлечением шаров вероятность извлечения любого шара равна 1/36. Допустим
извлечен шар номер 17, тогда вероятность извлечения любого из оставшихся шаров
1/35, шара 17 - ноль. После извлечения второго шара, например с номером 6
вероятность извлечения любого оставшегося 1/34, а шара 17 или шара 6 -ноль.
Очевидно, что при таком изъятии шаров последующие значения номеров (элементов
выборки) зависят от предыдущих. Об этом случае иногда говорят, что извлечение
элемента выборки приводит к изменению КОМПЛЕКСА ВНЕШНИХ УСЛОВИЙ.
Если после каждого извлечения шара его возвращать в
барабан и перемешивать, то вероятность извлечения любого шара будет постоянной и
равной 1/36. В этом случае комплекс внешних условий неизменен. Процедуру
извлечения выборки называют СХЕМОЙ. Процедуру извлечения, при которой комплекс
внешних условий неизменен (процедура с возвращением) называют СХЕМОЙ
БЕРНУЛЛИ. Очевидно, что не всегда возможна реализация схемы Бернулли,
например, при разрушающем контроле качества и т.п. В этом случае объем выборки
должен составлять минимально возможную долю от генеральной совокупности. С
другой стороны, увеличение объема выборки повышает точность оценки. Эти
обстоятельства должен учитывать исследователь при определении объема выборки. И
еще, можно показать, что: СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЯВЛЯЕТСЯ НАИЛУЧШЕЙ ОЦЕНКОЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ!
Проверьте усвоение Предыдущий раздел Следующий раздел Оглавление