МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 

Свойства среднего арифметического. Свойства дисперсии среднего арифметического.

 Рассмотрим характеристики точечной оценки МО - среднего арифметического. Пусть имеется выборка x1, x2, ..., xn объема n случайной величины X. Тогда:

 

M(X) = M[(x1+ x2 +...+ xn)/n] = (1/n)*M[x1 + x2 +...+ xn].
 

     Если все наблюдения x1, x2, ..., xn принадлежат одной генеральной совокупности, то Mx1=Mx, Mx2=Mx, ..., Mxn=Mx, следовательно по свойству 4 МО

M(X) = (1/n)*[Mx + Mx +...+ Mx] = (1/n)*n*Mx = Mx

    СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ - НЕСМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ,ЕСЛИ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫБОРКИ ПРИНАДЛЕЖАТ ОДНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ!

     Для той же выборки имеем: D(X) = D[(x1+ x2 +...+ xn)/n] = (1/n2)*D[x1+ x2 +...+ xn].

     Если все наблюдения x1,x2,...,xn принадлежат одной генеральной совокупности и процедура извлечения элементов выборки такова, что значения xi независимы, то D(x1)=Dx, D(x2)=Dx, ..., D(xn)=Dx, следовательно по свойству 4 дисперсии:

     D(X) = (1/n2)*[Dx+Dx+...+Dx] = (1/n2)*n*Dx = Dx/n

     ДИСПЕРСИЯ СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО В n РАЗ МЕНЬШЕ ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЕСЛИ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫБОРКИ ПРИНАДЛЕЖАТ ОДНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ И ПРОЦЕДУРА ИЗВЛЕЧЕНИЯ ВЫБОРКИ ОБЕСПЧИВАЕТ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ!

    ИЗВЛЕЧЕНИЕ ВЫБОРКИ.

    Как следует из изложенного выше, существенную роль в выполнении ряда свойств оценок играет способ извлечения выборки. Рассмотрим пример числовой лотереи типа спортлото 5 из 36. Перед извлечением шаров вероятность извлечения любого шара равна 1/36. Допустим извлечен шар номер 17, тогда вероятность извлечения любого из оставшихся шаров 1/35, шара 17 - ноль. После извлечения второго шара, например с номером 6 вероятность извлечения любого оставшегося 1/34, а шара 17 или шара 6 -ноль. Очевидно, что при таком изъятии шаров последующие значения номеров (элементов выборки) зависят от предыдущих. Об этом случае иногда говорят, что извлечение элемента выборки приводит к изменению КОМПЛЕКСА ВНЕШНИХ УСЛОВИЙ.
    Если после каждого извлечения шара его возвращать в барабан и перемешивать, то вероятность извлечения любого шара будет постоянной и равной 1/36. В этом случае комплекс внешних условий неизменен. Процедуру извлечения выборки называют СХЕМОЙ. Процедуру извлечения, при которой комплекс внешних условий неизменен (процедура с возвращением) называют СХЕМОЙ БЕРНУЛЛИ. Очевидно, что не всегда возможна реализация схемы Бернулли, например, при разрушающем контроле качества и т.п. В этом случае объем выборки должен составлять минимально возможную долю от генеральной совокупности. С другой стороны, увеличение объема выборки повышает точность оценки. Эти обстоятельства должен учитывать исследователь при определении объема выборки. И еще, можно показать, что: СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЯВЛЯЕТСЯ НАИЛУЧШЕЙ ОЦЕНКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ!

Проверьте усвоение  Предыдущий раздел  Следующий раздел  Оглавление

Hosted by uCoz