МЕТОДЫ И ИНСТРУМЕНТАРИЙ МНОГОМЕРНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Корреляционный анализ многомерной генеральной совокупности
Корреляционный анализ многомерной генеральной совокупности предполагает многомерный нормальный закон распределения этой совокупности. Данное предположение обусловлено тем, что только при нормальном законе распределения отсутствие корреляции свидетельствует об отсутствии зависимости между компонентами случайного вектора X. Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке k*(k + 3)/2 параметров, определяющих нормальный закон распределения k-мерного случайного вектора X. Этими параметрами являются k математических ожиданий µ1, ..., µk и k дисперсий Dx1, ..., Dxk компонентов вектора, а также k*(k-1)/2 парных коэффициентов корреляции.
ρij = ρ(xi,xj) = M[(xi - µi)*(xj - µj)]/(Dxi*Dxj)1/2
При этом корреляционная матрица R
1
ρ12
ρ13
ρ1k
ρ21
1
ρ23
ρ2k
ρ31
ρ32
1
ρ3k
ρk1
ρk2
ρk3
1
симметрична и положительно определена. В множественном корреляционном анализе используется понятие параметров связи некоторого порядка. Частным коэффициентом корреляции m-го порядка является коэффициент корреляции между двумя компонентами при фиксированных m компонентов из k-2 оставшихся. Компоненты для которых указывается коэффициент корреляции называются первичными, фиксируемые компоненты - вторичными. Они указываются в индексе коэффициента разделенные символом "/". Например ρ12/45 коэффициент корреляции второго порядка, ρ12 - нулевого порядка, ρ12/456 - третьего порядка.
Частный коэффициент корреляции между xi и xj по отношению к величинам x1, x2, ...xi-1, xi+1, ..., xj-1, xj+1, ..., xk (порядок k - 2)
ρij/1...k = Rij/(Rii*Rjj)1/2
где: Rij - алгебраическое дополнение к элементу ρij корреляционной матрицы R;
Rii - алгебраическое дополнение к элементу ρii корреляционной матрицы R;
Rjj - алгебраическое дополнение к элементу ρjj корреляционной матрицы R.
Множественный коэффициент корреляции Ri0 между xi и x1, x2, ...xi-1, xi+1, ..., xk вычисляется по формуле:
Ri0 = (1 - |R|/Rii)1/2
Иногда используется квадрат множественного коэффициента корреляции R2i0 , который называется коэффициентом детерминации. Коэффициенты детерминации обладают свойством:
R21/2 ≤ R21/23 ≤R21/234 ≤ ... ≤R21/2,...k
Данная цепочка неравенств указывает на то, что коэффициент множественной детерминации не уменьшается при прибавлении компонентов, относительно которых вычисляется коэффициент.
Проверка значимости частных коэффициентов корреляции различных порядков осуществляется по тому же критерию (таблице критических значений rкр), по которому проверяется значимость частного коэффициента корреляции нулевого порядка. Однако, число степеней свободы в этом случае равно ν = n - m - 2, где n - объем выборки, m - порядок связи.
Проверка значимости коэффициента детерминации (следовательно и множественного коэффициента корреляции) осуществляется с помощью F - статистики при числах степеней свободы ν1 = m, ν2 = n - m - 1:
Fрасч = r2g*(n - m -1)/[m*(1 - r2g )]
r2g - оценка множественного коэффициента корреляции.
Рассмотрим пример. Пусть вектор X содержит x1 - доходы предприятия, x2 - цены на производимую продукцию и x3, x4 - цены на аналогичную продукцию конкурирующих фирм:
| x1 | x2 | x3 | x4 |
| 10 | 5,1 | 4,9 | 5,2 |
| 12 | 5,6 | 5,4 | 5,1 |
| 10,5 | 5,7 | 5,8 | 5,4 |
| 10,7 | 5,5 | 5,3 | 5,7 |
| 11,5 | 5,4 | 5,1 | 5,1 |
| 11,8 | 5,3 | 5,2 | 4,7 |
| 12,3 | 5,2 | 5,2 | 5 |
| 12,8 | 5 | 4,9 | 4,9 |
| 12,5 | 5,2 | 5,5 | 5,3 |
| 13,1 | 5,3 | 5,1 | 5,5 |
Корреляционная матрица парных оценок нулевого порядка имеет вид:
| 1 | 0,76 | 0,41 | -0,36 |
| 0,76 | 1 | 0,34 | -0,18 |
| 0,34 | 0,41 | 1 | -0,27 |
| -0,36 | -0,18 | -0,27 | 1 |
Корреляционная матрица частных оценок второго
порядка имеет вид: Обратите внимание на различие в оценках.
1
0,73
0,18
-0,31
0,73
1
0,78
0,16
0,18
0,78
1
-0,15
-0,31
0,16
-0,15
1
Проверьте усвоение Предыдущий раздел Следующий раздел Оглавление