НАПОМИНАНИЕ:   СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗОЙ называют некоторое утверждение относительно значения (или значений) какого-либо параметра случайной величины. Например, утверждение: Mx=5 (гипотеза о равенстве МО пяти) или утверждение: Dx=Dy (гипотеза о равенстве двух дисперсий). Под процедурой проверки статистических гипотез понимают последовательность действий, позволяющих с той или иной степенью достоверности подтвердить или опровергнуть утверждение гипотезы. Все статистические выводы являются следствием проверки одной или комплекса гипотез.
    В основе проверки любой гипотезы лежит ПРИНЦИП ПРАКТИЧЕСКОЙ НЕВОЗМОЖНОСТИ
    Этот принцип гласит: СОБЫТИЯ С МАЛЫМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ ПРАКТИЧЕСКИ НЕВОЗМОЖНЫ.
    УРОВНЕМ ЗНАЧИМОСТИ называется максимальное значение вероятности, при котором событие можно считать еще практически невозможным. Уровень значимости обозначается греческой буквой α. В практике статистических вычислений приняты следующие стандартные значения α: 0,05, 0,02 и 0,01 (5%, 2% и 1% ).
    Событие, вероятность которого превышает α называется ЗНАЧИМЫМ, а событие, вероятность которого не превышает α называется НЕЗНАЧИМЫМ.
    При проверке статистической гипотезы исследователь сам назначает уровень значимости. Суть проверки гипотезы сводится к следующему. Исследователь предполагает, что гипотеза верна. Исходя из этого, исследователь делит будущие результаты на две группы. Первая группа - результаты, вероятность получить которые при справедливости гипотезы превосходит α. Вторая - результаты, вероятность получить которые не превосходит α. Затем извлекается выборка (или реализуется эксперимент) и определяется к какой группе относится результат. Если результат относится к первой группе, то нет оснований отвергать гипотезу (это вполне вероятный результат). Если результат принадлежит второй группе, то есть основания для отвержения гипотезы (это маловероятный результат).

Рассмотрим процедуру проверки статистической гипотезы для значений параметра нормально распределенного k-мерного случайного вектора. В качестве примера используем проверку гипотезы о равенстве математического ожидания µ случайного вектора X некоторому вектору µ₀. Ковариационная матрица COV вектора X должна удовлетворять условию |COV| ≠ 0.

Если имеется выборка объема n из генеральной совокупности векторов X, то, как указывалось ранее  статистика Хотеллинга T² = n*(x - µ₀)^т*(C^-1)*(x - µ₀) при заданной доверительной вероятности P соответствует значению [k*(n - 1)/(n - k)]*F_1-P. Здесь x - оценка математического ожидания вектора  X,  C^-1 - обратная матрица оценок ковариаций. Отсюда следует, что при заданном уровне значимости α критическое значение T²_кр будет соответствовать  = [k*(n - 1)/(n*(n - k))]*F_α при числах степеней свободы числителя ν₁ = k и знаменателя ν₂ = n - k. Поэтому, если расчетное по результатам выборки T²_расч превосходит T²_кр , то данные противоречат гипотезе, если нет, то данные не противоречат гипотезе.

Рассмотрим пример для случая k=2 и n=10. Пусть вектор X содержит x₁ - доходы предприятия и x₂ - цены на производимую продукцию:  
 

x1	x2
10	5,1
12	5,6
10,5	5,7
10,7	5,5
11,5	5,4
11,8	5,3
12,3	5,2
12,5	5,0
12,5	5,2
13,1	5,3

Вычисляем статистику Хотеллинга:

T²_расч = n*(x - µ₀)^т*(C^-1)*(x - µ₀) = 10*(0,22 , 0,13)*С^-1*(0,22 , 0,13)^т = 0,55

Определяем критическое значение статистики Хотеллинга при α = 0,05. Значение F_α = 4,46 при ν₁ = k = 2 и ν₂ = n - k = 8 (значение F_α выбрано из таблицы)

T²_кр = [k*(n - 1)/(n*(n - k))]*F_α = [2*(9-1)/(10*(10-2)]*4,46 = 16*4,46/80 = 0,89

По результатам вычислений T²_расч < T²_кр, следовательно данные не противоречат гипотезе о равенстве  математического ожидания вектора X вектору (11,5 , 5,2)^т.

 Проверьте усвоение  Предыдущий раздел  Следующий раздел  Оглавление