МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 

Свойства математического ожидания. Свойства дисперсии.

Напомним, что МО является интегральной характеристикой, поэтому свойства этого параметра определяются свойствами интеграла:

Формула

    Математическое ожидание любой случайной величины независимо от вида распределения, которому она подчиняется и обладает следующими свойствами.

    1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАВНО ЭТОЙ ВЕЛИЧИНЕ.

   Пусть а - неслучайная величина. Тогда М(a)=a

   2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СУММЫ НЕСЛУЧАЙНОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИН РАВНО СУММЕ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛЧИНЫ.

   Пусть а - неслучайная величина. Тогда М(a+x)=a+M(x).

   3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА СЛУЧАЙНУЮ РАВНО ПРОИЗВЕДЕНИЮ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ.

   Пусть а - неслучайная величина. Тогда М(a*x)=a*M(x).

   4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНО СУММЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.

   Пусть x и у - случайные величины. Тогда М(x+y)=M(x)+M(y).
   Обобщением перечисленных свойств является следующее: если a,b - неслучайные величины, x и y - случайные величины, то M(a*x+b*y)=a*M(x)+b*M(y).
   Хотя свойства рассмотрены для непрерывных случайных величин, они очевидно справедливы для дискретных случайных величин.

    

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ.

    Свойства дисперсии определяются свойствами МО. Напомним, дисперсия является центральным моментом второго порядка:

D(x) = M[(x-Mx)2].

   Дисперсия любой случайной величины независимо от вида распределения, которому она подчиняется обладает следующими свойствами.

   1.ДИСПЕРСИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАВНО НУЛЮ.

   Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a)=M[(a-M(a))2]=M[0]=0.

   2. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ НЕСЛУЧАЙНОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИН РАВНА ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (ДИСПЕРСИЯ ИНВАРИАНТНА СДВИГУ).

   Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a+x)=M[(a+x-M(a+x))2]= M[(x-M(x))2]=D(x).

   3.ДИСПЕРСИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА СЛУЧАЙНУЮ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА КВАДРАТ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

   Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a*x)=M[(a*x-M(a*x))2]=M[(a*(x-M(x))2]=

=M[a2*(x-M(x))2]=a2*D(x).

   4. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН И УДВОЕННОЙ КОВАРИАЦИИ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.

   Пусть x и у - случайные величины. Тогда D(x+y)=M[((x+y)-M(x+y))2]= =M[((x-Mx)+(y-My))2]=M[(x-Mx)2+(y-My)2+2*(x-Mx)*(y-My)]=M[(x-Mx)2]+ +M[(y-My)]+2*M[(x-Mx)*(y-My)]=D(x)+D(y)+2*COV(x,y).

   Величина COV(x,y)=M[(x-Mx)*(y-My)] называется ковариацией и обладает свойством: ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОВАРИАЦИЯ ВСЕГДА РАВНА НУЛЮ. Отсюда, следует: ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ (И ТОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.

Проверьте усвоение  Предыдущий раздел  Следующий раздел  Оглавление

Hosted by uCoz