МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Свойства математического ожидания. Свойства дисперсии.
Напомним, что МО является интегральной
характеристикой, поэтому свойства этого параметра определяются свойствами
интеграла:
Математическое ожидание любой случайной величины независимо от вида распределения, которому она подчиняется и обладает следующими свойствами.
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕСЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ РАВНО ЭТОЙ ВЕЛИЧИНЕ.
Пусть а -
неслучайная величина. Тогда М(a)=a
2.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СУММЫ НЕСЛУЧАЙНОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИН РАВНО СУММЕ
НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛЧИНЫ.
Пусть а - неслучайная величина. Тогда
М(a+x)=a+M(x).
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА СЛУЧАЙНУЮ РАВНО ПРОИЗВЕДЕНИЮ НЕСЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ НА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ.
Пусть а - неслучайная величина. Тогда
М(a*x)=a*M(x).
4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНО СУММЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ ЭТИХ
ВЕЛИЧИН.
Пусть x и у - случайные
величины. Тогда М(x+y)=M(x)+M(y).
Обобщением
перечисленных свойств является следующее: если a,b - неслучайные
величины, x и y - случайные величины, то
M(a*x+b*y)=a*M(x)+b*M(y).
Хотя свойства рассмотрены
для непрерывных случайных величин, они очевидно справедливы для дискретных
случайных величин.
Свойства дисперсии определяются свойствами
МО. Напомним, дисперсия является центральным моментом второго порядка:
D(x) = M[(x-Mx)2].
Дисперсия любой случайной величины независимо от вида
распределения, которому она подчиняется обладает следующими свойствами.
1.ДИСПЕРСИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАВНО НУЛЮ.
Пусть а - неслучайная величина. Тогда
D(a)=M[(a-M(a))2]=M[0]=0.
2. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ НЕСЛУЧАЙНОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИН
РАВНА ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (ДИСПЕРСИЯ ИНВАРИАНТНА СДВИГУ).
Пусть а - неслучайная величина. Тогда
D(a+x)=M[(a+x-M(a+x))2]=
M[(x-M(x))2]=D(x).
3.ДИСПЕРСИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА
СЛУЧАЙНУЮ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА КВАДРАТ НЕСЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ.
Пусть а - неслучайная величина.
Тогда D(a*x)=M[(a*x-M(a*x))2]=M[(a*(x-M(x))2]=
=M[a2*(x-M(x))2]=a2*D(x).
4. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА
СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН И УДВОЕННОЙ КОВАРИАЦИИ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.
Пусть x и у - случайные величины. Тогда
D(x+y)=M[((x+y)-M(x+y))2]=
=M[((x-Mx)+(y-My))2]=M[(x-Mx)2+(y-My)2+2*(x-Mx)*(y-My)]=M[(x-Mx)2]+
+M[(y-My)]+2*M[(x-Mx)*(y-My)]=D(x)+D(y)+2*COV(x,y).
Величина COV(x,y)=M[(x-Mx)*(y-My)] называется
ковариацией и обладает свойством: ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
КОВАРИАЦИЯ ВСЕГДА РАВНА НУЛЮ. Отсюда, следует: ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ
НЕЗАВИСИМЫХ (И ТОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ
ВЕЛИЧИН.
Проверьте усвоение Предыдущий раздел Следующий раздел Оглавление