Оценка ковариационной матрицы COV (обозначим матрицу оценок ковариаций C) имеет вид:
c(x1,x1)
c(x1,x2)
...
c(x1,xj)
...
c(x1,xk)
c(x2,x1)
c(x2,x2)
...
c(x2,xj)
...
c(x2,xk)
...
...
...
...
...
...
c(xi,x1)
c(xi,x1)
...
c(xi,xj)
...
c(xi,xk)
...
...
...
...
...
...
c(xk,x1)
c(xk,x2)
...
c(xk,xj)
...
c(xk,xk)
где: c(xi,xj) = ∑i[(xij - xi)*(xij - xj)]/(n - 1), i = 1, ..., n, j = 1, ..., k.
Очевидно, что c(xj,xj) является оценкой дисперсии j-го компонента вектора X.
Оценка корреляционной матрицы R имеет вид:
| 1 | r(x1,x2) | ... | r(x1,xj) | ... | r(x1,xk) |
| r(x2,x1) | 1 | ... | r(x2,xj) | ... | r(x2,xk) |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| r(xi,x1) | r(xi,x1) | ... | r(xi,xj) | ... | r(xi,xk) |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| r(xk,x1) | r(xk,x2) | ... | r(xk,xj) | ... | 1 |
где r(xi,xj) = c(xi,xj)/[c(xi,xi)*c(xj,xj)]1/2
Точечные оценки параметров случайных величин являются необходимыми, но недостаточными. Так, оценка параметра непрерывной случайной величины совпадает с истинным значением параметра с вероятностью равной нулю (не совпадает никогда). Поэтому, для полного описания оценки параметра необходима интервальная оценка. Для одномерной случайной величины это доверительный интервал, для многомерной (случайного вектора) - доверительная область.
Пусть имеется вектор параметров Θ. Доверительной областью вектора параметров Θ называется область, определяемая результатами наблюдений, которая с доверительной вероятностью P содержит значение вектора . Очевидно, что построение области, ее вид, зависит от распределения вектора статистик-оценок параметров Θ. Рассмотрим построение доверительной области для математического ожидания k-мерного вектора X в предположении, что распределение компонентов X подчинено нормальному закону распределения: X€Nk(μ,COV). Здесь μ = MX - математическое ожидание вектора X, COV - ковариационная матрица вектора X. Пусть найден вектор точечных оценок математического ожидания (вектор средних) X и матрица оценок ковариаций C. При k=1 для построения доверительного интервала для математического ожидания используют статистику t = (x - µ)*(n)1/2/s, которая имеет t-распределение с числом степеней свободы ν= n-1 (s - оценка дисперсии). Данное соотношение эквивалентно представлению
t2 = n*(x - µ)*(s-1)*(x - µ).
Статистика t2 имеет распределение χ2 с числом степеней свободы ν=n-1.
Для k больше единицы при построении доверительной области используется статистика T2 (статистика Хотеллинга):
T2 = n*(X - µ)т*(C-1)*(X - µ)
где µ - вектор математических ожиданий k-мерного случайного вектора X;
X - вектор средних значений (точечных оценок) математических ожиданий k-мерного случайного вектора X;
C-1 - матрица обратная матрице оценок ковариаций.
При заданной доверительной вероятности P, известных значениях k и n статистика T2 связана со статистикой F:
T2 = [k*(n - 1)/(n - k)]*F
Учитывая это соотношение доверительная область математического ожидания k-мерного случайного вектора X с доверительной вероятностью P описывается следующим уравнением поверхности:
(X - µ)т*(C-1)*(X - µ) = [k*(n - 1)/(n*(n - k))]*F1-P
где: F1-P - значение F соответствующее уровню значимости α = 1 - P при числах степеней свободы ν1 = k и ν2 = n - k.
Доверительная область определяет k-мерный эллипсоид (при k=2 эллипс) с центром X, так как (X - µ)т*(C-1)*(X - µ) представляет собой положительно определенную квадратичную форму.
Необходимо понимать, что определение доверительной области без учета ковариаций является более грубым. Это хорошо видно при k = 2. В этом случае без учета ковариаций доверительная область будет представлять собой прямоугольник с координатами вершин:
x1 - t1-P/2*s1/(n)1/2 , x1 + t1-P/2*s1/(n)1/2
x2 - t1-P/2*s2/(n)1/2 , x2 + t1-P/2*s2/(n)1/2 .
Здесь x1, x2 - компоненты оценки вектора математического ожидания X.
Ниже на рисунке представлено различие между доверительными областями определенными с учетом и без учета ковариаций.
Из рисунка видно значительное различие, которое зависит от степени взаимной зависимости компонент вектора X.
Рассмотрим пример для
случая k=2 и n=10.
Пусть вектор X содержит
x1
- доходы предприятия и
x2
- цены на производимую продукцию:
| x1 | x2 |
| 10 | 5,1 |
| 12 | 5,6 |
| 10,5 | 5,7 |
| 10,7 | 5,5 |
| 11,5 | 5,4 |
| 11,8 | 5,3 |
| 12,3 | 5,2 |
| 12,5 | 5,0 |
| 12,5 | 5,2 |
| 13,1 | 5,3 |
Необходимо построить доверительную область математического ожидания вектора X для доверительной вероятности P = 0,95.
Оценки математических ожиданий дохода x1 = 11,72 и цены x2 = 5,33. Ковариационная матрица C имеет вид:
|
1,07 |
-0,083 |
|
-0,083 |
0,049 |
Обратная матрица C-1 имеет вид:
| 1,07 | 1,82 |
| 1,82 | 23,48 |
Статистика Хотеллинга имеет вид:
T2 = (x - µ)т*(C-1)*(x - µ) = [k*(n - 1)/(n*(n - k))]*F1-P
Значение F1-P = 4,46 при ν1 = k = 2 и ν2 = n - k = 8 (значение Fα выбрано из таблицы)
T2 = [k*(n - 1)/(n*(n - k))]*F0,95 = [2*(9-1)/(10*(10-2)]*4,46 = 16*4,46/80 = 0,89
Тогда доверительная область описывается эллипсом:
(X - µ)т*(C-1)*(X - µ) = 0,89
(11,72 - µ1 , 5,33 - µ2)*(C-1)*(11,72 - µ1 , 5,33 - µ2)т = 0,89
Обратите внимание, что вектор математического ожидания есть вектор-столбец. Поэтому знак транспонирования присутствует у правой составляющей последнего выражения. Тогда
(11,72 - µ1 , 5,33 - µ2)*(C-1)=
=( [1,07*(11,72 - µ1)+1,82*(5,33 - µ2)],[1,82*(11,72 - µ1)+23,48*(5,33 - µ2)] ).
Теперь полученный вектор-строку умножаем на вектор столбец (11,72 - µ1 , 5,33 - µ2)т получим
[1,07*(11,72 - µ1)+1,82*(5,33 - µ2)]*(11,72 - µ1)+
+[1,82*(11,72 - µ1)+23,48*(5,33 - µ2)](5,33 - µ2)=
(1,07*11,72 - 1,07*µ1 + 1,82*5,33 - 1,82*µ2)*(11,72 - µ1)+
(1,82*11,72 - 1,82*µ1 + 23,48*5,33 - 23,48*µ2)*(5,33 - µ2)=
=(22,24 - 1,07*µ1 - 1,82*µ2)*(11,72 - µ1)+(146,48 - 1,82*µ1 - 23,48*µ2)*(5,33 - µ2)=
=22,24*11,72 - 22,24*µ1 - 11,72*1,07*µ1 + 1,07*(µ1)2 - 11,72*1,82*µ2 + 1,82*µ1*µ2 +
+146,48*5,33 - 146,48*µ2 -5,33*1,82*µ1 + 1,82*µ1*µ2 - 23,48*5,33*µ2 +23,48*(µ2)2 =
=1041,39 + 1,07*(µ1)2 + 23,48*(µ2)2 - 44,48*µ1 - 292,96*µ2 + 3,64*µ1*µ2 .
Таким образом, доверительная область при значении доверительной вероятности равном 0,95 описывается уравнением:
1,07*(µ1)2 + 23,48*(µ2)2 - 44,48*µ1 - 292,96*µ2 + 3,64*µ1*µ2 + 1040,5 = 0
Проверьте усвоение Предыдущий раздел Следующий раздел Оглавление
