АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ   

Модели временных рядов нестационарных по математическому ожиданию

    Оценивание параметров модели временных рядов нестационарных по математическому ожиданию осуществляется в два этапа. Первый этап состоит в том, что исходный ряд преобразуют в стационарный, а второй - в оценивании параметров преобразованного ряда. Основным способом преобразования (приведение исходного ряда к стационарному) является взятие конечных разностей значений ряда. Рассмотрим пример. На графике представлена реализация временного ряда, очевидно нестационарного по математическому ожиданию. Временной ряд содержит нарастающий линейный тренд. Для приведения ряда к

стационарному необходимо его продифференцировать - взять конечные разности. При выполнении этой операции будет получен новый ряд:

w(k) = x(k) - x(k-1)

Ниже представлен график ряда после взятия разностей. Очевидно, что линейный тренд отсутствует.

  Используя оператор сдвига, данный ряд можно представить следующим образом:

w(k) = (1 - Z)*x(k)

    Рассмотрим пример другого временного ряда, график которого представлен ниже.

Для приведения его к стационарному ряду необходимо дважды продифференцировать исходный ряд. Вот график такого ряда.

С использованием оператора сдвига взятие конечных разностей второго порядка соответствует следующему выражению:

w(k) = (1 - Z)² *x(k)

или без оператора сдвига:

w(k) = x(k) - 2*x(k-1) + x(k-1)

В общем случае, взятие конечных разностей порядка d соответствует выражению:

w(k) = (1 - Z)^d *x(k)

    Таким образом, полная модель временного ряда, нестационарного по математическому ожиданию в операторной форме должна иметь вид:

АР(p)*(1 - Z)^d *[x(k) - μ] = СС(q)*ε(k)

Данная модель называется процессом авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего порядка p, d, q. Сокращенная запись процесса АРПСС(p,d,q) или в англоязычной литературе ARIMA(p,d,q).

    Идентификация полученного стационарного ряда, оценивание параметров и проверка адекватности осуществляется по той же процедуре, которая была описана выше.

    Рассмотрим в качестве примера приведенный выше нестационарный ряд, требующий для приведения к стационарному взятие конечных разностей второго порядка. Оценки АКФ и ЧАКФ ряда после взятия разностей имеют вид:

Анализ оценок позволяет сделать предположение, что имеет место процесс скользящего среднего первого порядка. Вычисление оценок параметров модели средствами ППП "Statgraphics" привело к следующим результатам:

После исключения из модели константы (константа незначима, так как P-value > 0,05) получаем:

Ниже приведены оценки АКФ и ЧАКФ отклонений значений временного ряда от полученной модели, которые показывают, что модель адекватна.

Таким образом, полученная модель в операторной форме имеет вид:

(1 - Z)² *x(k) = (1 - 0,97*Z)*ε(k)

или

x(k) - 2*x(k-1) + x(k-2) = -0,97[x(k-1) - x(k-1)] + ε(k)

окончательно относительно x(k)

x(k) =1,03*x(k-1) - x(k-2) + 0,97*x(k-1) + ε(k)

    Прогноз последующего значения временного ряда рассчитывается по формуле:

x(k) =1,03*x(k-1) - x(k-2) + 0,97*x(k-1)

где x(k-1) - прогнозное значение временного ряда на предыдущем шаге.

Доверительный интервал прогноза не является постоянным и увеличивается по мере удаления точки прогноза от последнего наблюденного значения. На графике приведенном ниже это отчетливо видно.

Величина доверительного интервала увеличивается в квадратичной зависимости при увеличения шага прогноза.

Ниже приведена таблица значений точечного прогноза и границ доверительного интервала с доверительной вероятностью 0,95  двенадцати  последующих значений ряда. Значения вычислены средствами ППП "Statgraphics".

    Следует обратить внимание, что прогнозирование временных рядов рассмотренным методом предполагает выполнение двух условий:

1. Случайная величина ε(k) "белого шума", как составляющая моделей, должна подчиняться нормальному закону распределению с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией σ_ε² .

2.  Дисперсия "белого шума" σ_ε² должна быть величиной постоянной.

Проверьте усвоение  Предыдущий раздел  Следующий раздел  Оглавление